Question

已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，其中Rt△PDA≌Rt△PBA，且PD=AD=2，E，F(xiàn)，G分別為PA、PD、CD的中點(diǎn)
（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）求直線PA與平面EFG所成角的大�。�
（3）在直線CD上是否存在一點(diǎn)Q，使二面角Q-EF-D的大小為60°？若存在，求出CQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)M，由EF∥AD∥MG，知EFGM共面，由EM∥PB，能夠證明PB∥平面EFG．
（2）以AD為x軸，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PA與平面EFG所成角的大�。�
（3）設(shè)Q（2，b，0），則

EQ

=(2，b，-1)，求出面EFQ的法向量

n2

=（0，1，b）．面EFD的法向量

n3

=（0，1，0），由二面角Q-EF-D的大小為60°，利用向量法能求出CQ的長．

解答：（1）證明：取AB中點(diǎn)M，
∵EF∥AD∥MG，
∴EFGM共面，
∵EM∥PB，PB?面EFG，EM?面EFG，
∴PB∥平面EFG      …（4分）
（2）解：如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PD=AD=2，E，F(xiàn)，G分別為PA、PD、CD的中點(diǎn)，
∴E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，1），G（2，1，0），P（0，0，2）
∴

EF

=（1，0，0），

FG

=(1，1，-1)，
設(shè)平面EFG的法向量為

n1

=（x，y，z），則

n1

•

EF

=0，

n1

•

FG

=1，
∴

x=0 x+y-z=0

，解得

n1

=（0，1，1）．
設(shè)直線PA與平面EFG所成角為α，
∵

AP

=（0，0，2），
∴sinα=|cos＜

AP

，

n1

＞|=|

2

2 2

|=

2

2

，∴α=45°．
故直線PA與平面EFG所成角的大小45°．
（3）解：設(shè)Q（2，b，0），則

EQ

=(2，b，-1)，
設(shè)面EFQ的法向量為

n2

=（x，y，z），則

n2

•

EQ

=0，

n2

•

EF

=0，
∴

2x+by-z=0 x=0

，解得

n2

=（0，1，b）．
∵面EFD的法向量

n3

=（0，1，0），且二面角Q-EF-D的大小為60°，
∴cos60°=

1

b2+1

=

1

2

，
解得b=

3

．
故CQ=2-

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．