Question

已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），設h（x）=f（x）-g（x）
（1）求函數h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合；
（3）若x∈[0，

1

2

]時，函數h（x）的值域是[0，1]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的真數大于0，可求出函數的定義域，然后根據函數奇偶性的定義進行判定即可；
（2）根據f（3）=2求出a的值，然后解不等式h（x）＜0即可求出所求；
（3）研究內函數的單調性，結合討論外函數的單調性從而求出函數值域，根據函數h（x）的值域是[0，1]，可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
有1+x＞0且1-x＞0；解可得-1＜x＜1；
定義域為（-1，1）…（2分）
又∵h(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-h(x)
∴函數h（x）為奇函數                    …（4分）
（2）∵f（3）=2，解得a=2 
∵h（x）＜0
∴1+x＜1-x⇒x＜0
又x∈（-1，1），∴x∈（-1，0）…（8分）
（3）h(x)=loga

1+x

1-x

=loga(-1-

2

x-1

)
令?(x)=-1-

2

x-1

，
可知?(x)=-1-

2

x-1

在[0，

1

2

]上單調遞增，
因此當a＞1時，h（x）在[0，

1

2

]上單調遞增
又h(0)=0，由h(

1

2

)=1，得a=3；       …（10分）
當0＜a＜1時，h（x）在[0，

1

2

]上單調遞減，
由x∈[0，

1

2

]時，函數h（x）的值域是[0，1]，
可得h（0）=1與h（0）=0矛盾，所以a∈∅
綜上：a=3…（12分）

點評：本題主要考查了對數函數的定義域，以及函數的奇偶性和單調性與值域，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于中檔題．