Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且

1

2

，an，Sn成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列滿(mǎn)足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求證：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得2an=Sn+

1

2

，令n=1可求a₁，n≥2時(shí)，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，從而可得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，進(jìn)而可得

1

bn

，并拆項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法可求和，由和可得結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）∵

1

2

，an，Sn成等差數(shù)列，∴2an=Sn+

1

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a1+

1

2

，解得a1=

1

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
兩式相減得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴

an

an-1

=2，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，an=

1

2

×2n-1=2n-2．
（Ⅱ）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）
=log222n+1-2×log222n+3-2
=（2n-1）（2n+1），

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬中檔題．