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        1. (2010•連云港三模)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1+
          1
          an-1
          (n≥2,n∈N*)
          .求證:
          2n-1
          an
          3n-1
          分析:本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題.解答時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,首先驗(yàn)證當(dāng)n=2時(shí),然后假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),不等式成立,再分析當(dāng)n=k+1時(shí)的情況,此時(shí)要注意一定要用上假設(shè).最后下好結(jié)論即可.
          解答:證明:記所證不等式為(*)式,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
          (1)當(dāng)n=2時(shí),∵a1=1∴a2=a1+
          1
          a1
          =2

          3
          a2
          5
          ∴(*)式成立.
          (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),(*)式成立,
          即有
          2k-1
          ak
          3k-1

          那么,當(dāng)n=k+1時(shí),
          y=x+
          1
          x
          (x>1)∵y′=1-
          1
          x2
          >0
          y=x+
          1
          x
          在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
          (
          2k-1
           , 
          3k-1
          )⊆(1 , +∞)

          2k-1
          +
          1
          2k-1
          ak+
          1
          ak
          3k-1
          +
          1
          3k-1

          2k-1
          +
          1
          2k-1
          ak+1
          3k-1
          +
          1
          3k-1

          先證
          2k+1
          2k-1
          +
          1
          2k-1

          兩邊同乘
          2k-1
          ,即證
          4k2-1
          <2k-1+1

          即證4k2-1<4k2上式成立,∴①式成立.
          再證
          3k-1
          +
          1
          3k-1
          3k+2

          兩邊同乘
          3k-1
          即證3k-1+1<
          (3k-1)(3k+2)

          即證9k2<9k2+3k-2∵k≥2∴上式成立,則②式成立.
          2k+1
          ak+1
          3k+2

          ∴當(dāng)n=k+1時(shí),(*)式也成立,
          根據(jù)(1),(2)知,(*)式成立.
          點(diǎn)評(píng):本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題.解答時(shí)的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的思想、計(jì)算的能力以及問題轉(zhuǎn)化的能力.值得同學(xué)們體會(huì)反思.
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