Question

（2010•連云港三模）如圖所示，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB=x m，長(zhǎng)方形的面積為y m²，要使長(zhǎng)方形的面積最大，求其邊長(zhǎng)x．

Answer 1

分析：本題考查二次函數(shù)最小（大）值的求法．欲求使長(zhǎng)方形的面積最大時(shí)的邊長(zhǎng)x，先利用：長(zhǎng)方形的面積=大三角形的面積-兩個(gè)小三角形的面積表示出函數(shù)y，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及相應(yīng)的x的值即可．

解答：解：根據(jù)題意得：AD=BC=

y

x

，上邊三角形的面積為：

1

2

（5-x）

y

x

，右側(cè)三角形的面積為：

1

2

x（12-

y

x

），
所以y=30-

1

2

（5-x）

y

x

-

1

2

x（12-

y

x

），
整理得y=-

12

5

x²+12x，
=-

12

5

[x2-5x+（

5

2

）2-

25

4

]，
=-

12

5

（x-

5

2

）²+15，
∵-

12

5

 ＜0
∴長(zhǎng)方形面積有最大值，此時(shí)邊長(zhǎng)x應(yīng)為

5

2

m．
故要使長(zhǎng)方形的面積最大，其邊長(zhǎng)

5

2

m．

點(diǎn)評(píng)：求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當(dāng)二次系數(shù)a的絕對(duì)值是較小的整數(shù)時(shí)，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比較簡(jiǎn)單．