Question

【題目】已知橢圓方程為，射線與橢圓的交點為M，過M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于A，B兩點（異于M）．

（1）求證：直線AB的斜率為定值；

（2）求面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）。

【解析】

（1）先求出點，結(jié)合題意設直線MA的方程為，解方程組得到，同理得到，進而得到，為定值．（2）由（1）可設直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于的方程，結(jié)合判別式可得．再由（1）可得點到直線AB的距離為，，

進而求得的面積，最后結(jié)合基本不等式可得所求．

（1）證明：由，解得．

∴．

∵過M作的兩條直線斜率都存在，不防設直線MA的斜率為，且，

則直線MA的方程為，

由消去

，

∴，

∴．

同理得直線MB的方程為，可得．

∴，為定值．

（2）解：由（1）設直線AB的方程為，

由消去整理得，

∵直線AB與橢圓交于兩點，

∴，

解得．

又點到直線AB的距離為，

=．

設的面積為S，

則，

當且僅當，即時等號成立．

∴面積的最大值為．