Question

【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的周長為8.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍；

（3）是否在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）的縱坐標(biāo)的范圍為;(3) .

【解析】

試題(1)由橢圓定義得的周長為，再結(jié)合離心率，列方程組解得，，，(2)先以直線的斜率表示它的中垂線方程（結(jié)合韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)），解出與軸交點(diǎn)，即為點(diǎn)的縱坐標(biāo)： ，再根據(jù)基本不等式求取值范圍，注意討論斜率不存在的情形，(3)軸平分，等價(jià)于，再利用坐標(biāo)表示可得兩根和與積的關(guān)系，最后根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡可得的值.

試題解析：（1）依題意得，，解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)不存在時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，

當(dāng)存在時(shí)，由可得，

設(shè)，，

則，，（*）

設(shè)弦有中點(diǎn)為，則，，

則，

令，有 ，

綜上所述，的縱坐標(biāo)的范圍為.

（3）存在滿足條件，

假設(shè)存在使得軸平分，則，

即 ，

有，

將（2）中（*）式代入有，

解得.