Question

某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A、B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:

投資A種商品金額(萬元)	1	2	3	4	5	6
獲純利潤(萬元)	0.65	1.39	1.85	2	1.84	1.40
投資B種商品金額(萬元)	1	2	3	4	5	6
獲純利潤(萬元)	0.25	0.49	0.76	1	1.26	1.51

該經(jīng)營者準備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品,但不知投入A、B兩種商品各多少才最合算.請你幫助制定一個資金投入方案,使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)

Answer 1

思路分析：本題主要考查選擇函數(shù)模型解決實際問題和處理數(shù)據(jù)的能力.畫出散點圖，調(diào)用相關(guān)函數(shù)的知識，猜測出函數(shù)模型，然后解出函數(shù)解析式來處理問題.

解：設(shè)投資額為x萬元時，獲得的利潤為y萬元.在直角坐標系中畫出散點圖并依次連接各點，如下圖所示，

    觀察散點圖可知圖像接近直線和拋物線，因此可考慮用二次函數(shù)描述投入A這種商品的利潤y萬元與投資額x萬元之間的函數(shù)關(guān)系；用一次函數(shù)描述投入B這種商品的利潤y萬元與投資額x萬元之間的函數(shù)關(guān)系.

    設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=-a(x-4)²+2(a＞0),一次函數(shù)的解析式為y=bx.

    把x=1,y=0.65代入y=-a(x-4)²+2(a＞0)，得0.65=-a(1-4)²+2,解得a=0.15.

    故前六個月所獲純利潤關(guān)于月投資A種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似的用y=-0.15(x-4)²+2表示.

    把x=4,y=1代入y=bx，得b=0.25,

    故前六個月所獲純利潤關(guān)于月投資B種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似的用y=0.25x表示.

    令下月投入A、B兩種商品的資金分別為x_a萬元,x_b萬元時，總利潤為W萬元,得

W=y_a+y_b=-0.5(x_a-4)²+2+0.25x_b，其中x_a+x_b=12.

    則W=-0.15(x_a)²+0.15·()²+2.6(0≤x_a≤12).

    則當x_a=196≈3.2萬元時,W取得最大值,0.15·()²+2.6≈4.1萬元,此時x_b=≈8.8萬元.

    即投入A商品3.2萬元，投入B商品8.8萬元時，下月可獲得最大純利潤4.1萬元.