Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：?x∈R恒有f（x+2）=f（x）-f（1）．且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2（x-3）²．若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(0，

3

3

)

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出f（1）=0，然后得出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），分別作出函數(shù)y=f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，利用圖象確定a的取值范圍．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+2）=f（-1）-f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），即函數(shù)的周期是2．
由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），
分別作出函數(shù)y=f（x）和g（x）=log_a（x+1）的圖象，
若a＞1，則不滿足條件（圖1）
如0＜a＜1，要使函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
則滿足當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=-2，g（2）＞-2，即log_a（2+1）＞-2，log_a3＞-2，
解得0＜a＜

3

3

．
故答案為：(0，

3

3

)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的相交問題是解決此類問題的基本方法．綜合性較強(qiáng)．