Question

已知向量=（cosx+sinx，cosx），=（cosx-sinx，2sinx），f（x）=•．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）a，b，c分別△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊，且f（A）=，b=2c，a=2，求S_△ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式為2sin（2A+），由此求得最小正周期．由，求得f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）由f（A）= 解得sin（2A+）=-．再由A的范圍可得2A+= 或2A+=，從而求出A的值，
再由余弦定理求出c的值，代入S_△ABC=bc•sinA運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）f（x）==（cosx+sinx）（cosx-sinx）+cosx2sinx
=，
故最小正周期T==π．
令，解得 ，k∈Z．
故f（x）單調(diào)區(qū)間為[，]（k∈Z）．
（2）由f（A）=，可得 2sin（2A+）=-，sin（2A+）=-．
由于 0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+= 或2A+=．
解得 A= 或A=．
當(dāng) A= 時(shí)，由勾股定理可得 20=b²+c²=5c²，∴c=2，故S_△ABC==4．
當(dāng) A= 時(shí)，由余弦定理可得 20=b²+c²-2bc•cos=7c²，
故 S_△ABC=bc•sin==．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．