Question

已知向量

m

=(

3

sinx-cosx，1)，

n

=(cosx，

1

2

)，若f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，f(

A

2

+

π

12

)=

3

2

（A為銳角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x-

π

6

），由此求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 已知△ABC中，由 f(

A

2

+

π

12

)=

3

2

（A為銳角），求得sinA=

3

2

，可得 A=

π

3

．由正弦定理可得b=2c，根據(jù) a=3，再由余弦定理求出c、b的值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

m

•

n

=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），故函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ） 已知△ABC中，f(

A

2

+

π

12

)=

3

2

（A為銳角），∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

．
∵2sinC=sinB，∴由正弦定理可得b=2c，
∵a=3，再由余弦定理可得 9=b²+c²-2bc•cos

π

3

．
解得 b=2

3

，c=

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．