Question

已知E為不等式組

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示區(qū)域內(nèi)的一點，過點E的直線m與M：（x-1）²+y²=14相交于A，C兩點，過點E與m垂直的直線交圓M于B、D兩點，當(dāng)AC取最小值時，四邊形ABCD的面積為（　　）

• A．4

  5

• B．6

  7

• C．8

  42

• D．6

  14

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的△PQN及其內(nèi)部，由圓的性質(zhì)得出當(dāng)點E與圖中N點重合且直線m與經(jīng)過E點的直徑垂直時，線段AC長取到最小值．由此利用兩點的距離公式和垂徑定理加以計算，即可得到當(dāng)AC取最小值時四邊形ABCD的面積．

解答：解：作出不等式組

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△PQN及其內(nèi)部，
其中Q（1，1），P（2，1），N（0，2）
根據(jù)題意，當(dāng)點E與N重合，且直線m與經(jīng)過E點的直徑垂直時，
線段AC長取到最小值，
∵M（1，0），得|MN|=

(1-0)2+(0-2)2

=

5

∴線段AC長最小時，|AC|=2

r2-|MN|2

=6
∵BD、AC互相垂直，線段AC長最小時BD為直徑
∴四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×6×2

14

=6

14

即當(dāng)AC取最小值時，四邊形ABCD的面積為6

14

故選：D

點評：本題著重考查了圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系和垂徑等知識，屬于中檔題．同時考查了一元二次不等式表示的平面區(qū)域和四邊形面積的求法等知識，是一道不錯的綜合題．