Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log

9x 3

•lo

g

3x 3

，且

1

9

≤x≤9
（1）求f（3）的值；
（2）若令t=log₃x，求t取值范圍；
（3）將f（x）表示成以t（t=log₃x）為自變量的函數(shù)，并由此，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及與之對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則即可求得；
（2）由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及

1

9

≤x≤9，即可求得t的范圍；
（3）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則可把f（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最值，通過解對數(shù)方程可解得相應(yīng)x的值；

解答：解：（1）f（3）=log₃27•log₃9=3×2=6；
（2）t=log₃x，又∵

1

9

≤x≤9，
∴-2≤log₃x≤2，
∴-2≤t≤2即t的取值范圍為[-2，2]；
（3）由f（x）=（log₃x+2）（log₃x+1）=(log3x)2+3log3x+2=t²+3t+2，
令g（t）=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，t∈[-2，2]，
①當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，g（t）_min=-

1

4

，即log₃x=-

3

2

，解得x=3-

3

2

=

3

9

，
f（x）_min=-

1

4

，此時(shí)x=-

3

9

；
②當(dāng)t=2時(shí)，g（t）_max=g（2）=12，即log₃x=2?x=9，
∴f（x）_max=12，此時(shí)x=9；

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)求值及二次函數(shù)性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，解決本題的關(guān)鍵是掌握對數(shù)的運(yùn)算法則．