Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在；的最小值是1

【解析】

（1）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點(diǎn)，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；

（2）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時(shí)的取值范圍即可.

（1）由題知，，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

故在處取得極小值，無極大值.

（2）不妨令，

設(shè)在恒成立，

在單調(diào)遞增，，

在恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

恒成立；

所以若要不等式在上恒成立，只能.

當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，

所以，不滿足題意.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，

，

所以在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，

故存在，使得不等式在上恒成立.

此時(shí)的最小值是1.