Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證： ；

（Ⅱ）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（其中正

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)可得，只要證明即可；

（2）），設(shè)，則

所以即在上單調(diào)遞增，由于是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以是在上的唯一零點(diǎn)，所以，即， 恒成立，即

的最小值恒大于等于零即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：

因?yàn)?/span>是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得

經(jīng)檢驗(yàn)， 符合題意

則，

當(dāng)時(shí)， ， ，所以；

當(dāng)時(shí)， ， ，所以

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以，從而，即，所以

（Ⅱ），設(shè)，則

所以即在上單調(diào)遞增

由于是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以是在上的唯一零點(diǎn)

所以，則，即

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而函數(shù)在處取得最小值

所以

因?yàn)?/span>恒成立，所以

所以，即，也即

令，則有

因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ， 所以

從而， ，于是

所以，故的取值范圍為