Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4個(gè)零點(diǎn)，則k取值范圍是

（-

1

3

，0）

．

Answer 1

分析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f（x）圖象和動(dòng)直線l：y=kx+k+1，觀察直線l可得：當(dāng)已知方程有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)直線l的活動(dòng)范圍應(yīng)該在圖中兩條虛線之間，從而通過(guò)求直線斜率得到k取值范圍．

解答：解：∵偶函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)圖象與x∈[0，1]時(shí)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故x∈[-1，0]時(shí)f（x）=-x，
又∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∴將函數(shù)f（x）在[-1，1]上的圖象向左和向右平移2的整數(shù)倍個(gè)單位，可得f（x）在R上的圖象．
∵直線l：y=kx+k+1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-1，1），斜率為k
∴直線l的圖象是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-1，1）的動(dòng)直線．（如右圖）
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f（x）和動(dòng)直線l：y=kx+k+1，當(dāng)它們有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4個(gè)零點(diǎn)，
∴直線l的活動(dòng)范圍應(yīng)該介于兩條虛線之間，
而兩條虛線的斜率k₁=0，k₂=

1-0

-1-2

=-

1

3

，故直線l的斜率k∈（-

1

3

，0）
故答案為：（-

1

3

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知函數(shù)圖象與動(dòng)直線有4個(gè)公共點(diǎn)，求斜率k的取值范圍，著重考查了函數(shù)的周期性、奇偶性和直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．