Question

【題目】在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線段，垂足為，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡為.

(1)求曲線的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(0，－2)作直線與交于兩點(diǎn)，(O為原點(diǎn))，求三角形面積的最大值，并求此時(shí)的直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大面積為1，方程為

【解析】

(1)利用代入法求曲線的方程.(2)先求出三角形面積的解析式和k的范圍，再求其最大值和此時(shí)直線的方程.

（1）設(shè)M(x，y)是曲線C上任一點(diǎn)，

因?yàn)镻Q⊥x軸，M是PQ的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，2y)．

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4.

所以曲線C的方程是＋y2＝1.

(2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)顯然不符合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx－2，與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，

由得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0，得k2>.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

因?yàn)镾△OAB＝|OD||x1－x2|＝|x1－x2|＝

＝4.令4k2－3＝t，則4k2＝t＋3(由上可知t>0)，

SOANB＝4＝4,

當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即k2＝時(shí)取等號(hào)；

所以當(dāng)k＝±時(shí)三角形OAB面積的最大值為1，

此時(shí)直線l的方程為y＝±x－2.