Question

已知函數(shù)f(x)=

1+ln(x+1)

x

(x＞0)．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞

k

x+1

恒成立，求整數(shù)k的最大值；
（Ⅲ）試證明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e^2n-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

x+1

x

[1+ln(x+1)]在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可求整數(shù)k的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

(x＞0)，從而令x=n(n+1)，ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由題x＞0，f′(x)=-

[ 1 x+1 +ln(x+1)]

x2

＜0，…（2分）
故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；…（3分）
（Ⅱ）解：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

x+1

x

[1+ln(x+1)]在（0，+∞）上恒成立，
取h(x)=

x+1

x

[1+ln(x+1)]，則h′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

，…（5分）
再取g（x）=x-1-ln（x+1），則g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，
故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，…（7分）
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實(shí)數(shù)根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）時(shí)，g（x）＜0；x∈（a，+∞）時(shí)，g（x）＞0，
故h(x)min=

a+1

a

[1+ln(a+1)]=a+1∈(3，4)，k≤3，故k_max=3…（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

(x＞0)，∴ln(x+1)＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

令x=n(n+1)，ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，…（10分）
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2n-3(1-

1

n+1

)=2n-3+

3

n+1

＞2n-3
即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，屬于中檔題．