Question

【題目】我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中。如圖1，點(diǎn)是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和分別是“果圓”與軸的交點(diǎn)，且是邊長為2的等邊三角形。

（1）求“果圓”的方程。

（2）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）因?yàn)?/span>，

所以

于是，所求“果圓”方程為

（2）記平行弦的斜率為.

當(dāng)時(shí)，直線與半橢圓的交點(diǎn)是，與半橢圓的交點(diǎn)是.

所以，的中點(diǎn)滿足得.

所以當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上.

當(dāng)時(shí)，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是， 所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上

當(dāng)時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上.