Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E是CC₁的中點，
（1）求銳二面角D-B₁E-B的余弦值．
（2）試判斷AC與面DB₁E的位置關系，并說明理由．
（3）設M是棱AB上一點，若M到面DB₁E的距離為

21

7

，試確定點M的位置．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，建立空間坐標系得出各點的坐標，給出各點的坐標，
（1）求出兩個平面的法向量，利用公式求稅二面角的余弦；
（2）利用向量證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，再結(jié)合線不在面內(nèi)得出線面平行；
（3）點到面的距離可由轉(zhuǎn)化為此點與面內(nèi)一點對應的向量在面的法向量上的投影長，故設出點M的坐標，用點M的坐標表示出此投影長，令其為

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7

，解出點M的坐標，即可求出點M的位置

解答：解：建如圖的立空間坐標系可得：D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C₁（0，2，1），B₁（1，2，1），由中點坐標公式可得E（0，2，

1

2

），
（1）設面DB₁E的法向量是

n1

=(x，y，z)，又

DE

=（0，2，

1

2

），

DB1

=（1，2，1），由

n1 • DE =0  n1 • DB1 =0

得

2y+ 1 2 z=0 x+2y+z=0

，令y=1，得x=2，z=-4
故有

n1

=(2，1，-4)，同理可求得面BB₁E的法向量為

n2

=(0，1，0)，故兩平面所成的稅二面角的余弦cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

21

（2）由題意，AC的方向向量的坐標是

AC

=（-1，2，0），又面DB₁E的法向量

n1

=(2，1，-4)，由于

AC

•

n1

=-2+2=0，故

AC

⊥

n1

，又AC不在面DB₁E內(nèi)，故AC與面DB₁E的位置關系是平行．
（3）M是棱AB上一點，
設M（1，x，0），則

MD

=（-1，-X，0），
由（1）面DB₁E的法向量

n1

=(2，1，-4)，M到面DB₁E的距離即向量

MD

在DB₁E的法向量

n1

上的投影長度，
故有d=|

n1 •  MD

| n1 |

|=|

-2-X

21

=|

21

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|即得|2+x|=3解得x=1，或x=-1（由圖知，此結(jié)論舍），
故M是AB的中點時，符合題意．

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時的問題時的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運算量不少，計算時要嚴謹，莫因運算出錯導致解題失�。�本題中將求點到面的距離的問題轉(zhuǎn)化為求向量在面的法向量上的投影長，方法新穎，注意理解掌握．