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        1. 設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
          MN
          AB

          (1)求動點C的軌跡E;
          (2)若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足
          OP
          OQ
          =0
          ,求實數(shù)b的取值.
          分析:(1)設(shè)點C(x,y ),則點M  (
          x
          3
          y
          3
           ),由
          MN
          AB
          ,可得 MN∥AB,故N的橫坐標(biāo)等于
          x
          3
          ,又N在AB的中垂線上,故縱坐標(biāo)等于 0.由于 NA=NC,可得
          (
          x
          3
          )
          2
          +1
          =
          (
          x
          3
          -x)
          2
          +y2
          ,化簡可得軌跡方程,從而得到軌跡.
          (2)把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x2+6bx+3b2-3=0,由
          OP
          OQ
          =0
           可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入求出b值.
          解答:解:(1)設(shè)點C(x,y ),則 點M (
          0+0+x
          3
          ,
          1-1+y
          3
           ),即 點M  (
          x
          3
          y
          3
           ),
          MN
          AB
          ,可得 MN∥AB,故N的橫坐標(biāo)等于
          x
          3
          ,又N在AB的中垂線上,故縱坐標(biāo)等于 0.
          由于N是不等邊△ABC的外心,∴NA=NC,∴
          (
          x
          3
          )
          2
          +1
          =
          (
          x
          3
          -x)
          2
          +y2

          化簡可得 
          x2
          3
          +y2= 1
          ,xy≠0,故動點C的軌跡E是焦點在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個橢圓,去掉其頂點.
          (2)把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x2+6bx+3b2-3=0.由題意可得,b≠0,b≠±1,
          且△=36b2-16( 3b2-3)>0,x1+x2=
          -3b
          2
          ,x1•x2=
          3b2-3
          4

          OP
          OQ
          =0
           可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0.
          ∴2•
          3b2-3
          4
          +b•(
          -3b
          2
           )+b2=0,解得 b2=
          3
          2
          ,∴b=±
          6
          2
          點評:本題考查點軌跡方程的求法,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,判斷軌跡E的形狀,是階梯的易錯點.
          練習(xí)冊系列答案
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          設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1)、B(0,-1),且

          (1)求動點C的軌跡E;

          (2)若直線y=kx+b與曲線E交于不同的兩點PQ,且滿足,求實數(shù)b的取值范圍.

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          設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知、,且.
          (1)求動點C的軌跡E;
          (2)若直線與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)的取值范圍。

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          (本小題滿分12分)

          設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知、,且.

          (1)求動點C的軌跡E;

          (2)若直線與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)的取值范圍。

           

           

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          設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
          (1)求動點C的軌跡E;
          (2)若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)b的取值.

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