Question

已知函數(shù)f(x)=x²-2ax+b²,a,b∈R.

(1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素，b從集合{0,1,2}中任取一個(gè)元素，求方程f(x)=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；

(2)若a從區(qū)間［0,2］中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間［0,3］中任取一個(gè)數(shù)，求方程f(x)=0沒有實(shí)根的概率.

Answer 1

解:(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一個(gè)元素，b取集合{0,1,2}中任一個(gè)元素,

∴a,b的取值的情況有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),

其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值,

即基本事件總數(shù)為12.

設(shè)“方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A,

當(dāng)a≥0,b≥0時(shí)，方程f(x)=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為a＞b.

當(dāng)a＞b時(shí)，a,b取值的情況有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),

即A包含的基本事件數(shù)為6,

∴方程f(x)=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P(A)==.

(2)∵a從區(qū)間［0,2］中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間［0,3］中任取一個(gè)數(shù)，

則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},

這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×3=6.

設(shè)“方程f(x)=0沒有實(shí)根”為事件B,則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a＜b},

即圖中陰影部分的梯形，其面積S_m=6×2×2=4.

由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f(x)=0沒有實(shí)根的概率P(B)=.