Question

設x，y∈R，、為直角坐標系內x、y軸正方向上的單位向量，若=x+（y+2），=x+（y-2）且²+²=16．
（1）求點M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）過定點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設，是否存在直線l使四邊形OAPB為正方形？若存在，求出l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵=x+（y+2），=x+（y-2）且²+²=16，為直角坐標系內x、y軸正方向上的單位向量，
∴x²+（y+2）²+x²+（y-2）²=16
∴點M（x，y ）的軌跡C的方程是x²+y²=4；
（2）假設存在直線l，設方程為y=kx+3，代入x²+y²=4可得（1+k²）x²+6kx+5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁•x₂=
由題意，，則x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴x₁•x₂+k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=0
∴++3k•（-）+9=0
∴k=
∴存在l且l的方程為y=．
分析：（1）利用向量的數量積公式，即可求得點M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）設出直線方程，代入圓的方程，結合韋達定理及向量的數量積公式，即可得到結論．
點評：本題考查軌跡方程，考查數量積公式的運用，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．