Question

（2012•虹口區(qū)一模）過圓（x-1）²+（y-3）²=25內(nèi)的點(diǎn)

1，0

的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積等于

40

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，連接圓心與點(diǎn)（1，0），利用垂徑定理的逆定理最長的弦為過（1，0）的直徑，最短的弦為與直徑垂直的弦，由圓心與（1，0）的距離d，即弦心距及圓的半徑r，勾股定理及垂徑定理求出最短的弦長，再由直徑與最短的弦長垂直，利用直徑與最短弦長乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．

解答：解：由圓的方程（x-1）²+（y-3）²=25，得到圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑r=5，
∵過（1，0）最長的弦為直徑，即AC=10，且（1，0）與（1，3）的距離d=

(1-1)2+(0-3)2

=3，
∴最短的弦長BD=2

r2-d2

=8，
又AC⊥BD，
則四邊形ABCD的面積S=

1

2

×10×8=40．
故答案為：40

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及對角線垂直的四邊形面積求法，其中根據(jù)題意得出最長的弦長與最短的弦長是解本題的關(guān)鍵．