Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設D（

3

2

，0），過F₂且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，若DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線的方程可化為

x2

2

-y2=1，則|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

 
∴P點的軌跡E是以F₁、F₂為焦點，長軸為4的橢圓         
由a=2，c=

3

，∴b=1
∴所求方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設l的方程為y=k(x-

3

)，則k≠0
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2

3

）=

-2 3 k

1+4k2

∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴（

DA

+

DB

）⊥

AB

∴（

DA

+

DB

）•

AB

=0
∴

8 3 k2

1+4k2

-

3

-

2 3 k2

1+4k2

=0
∴k=±

2

2

∴l(xiāng)的方程為y=±

2

2

(x-

3

)．