Question

設(shè){a_n}和{b_n}均為無(wú)窮數(shù)列．
（1）若{a_n}和{b_n}均為等比數(shù)列，試研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論；若是等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出其前n項(xiàng)和公式．
（2）請(qǐng)類(lèi)比（1），針對(duì)等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題（不必證明），并寫(xiě)出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（用首項(xiàng)與公差表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）討論兩數(shù)列的公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判定{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的求和公式解之即可；
（2）利用等比中的乘類(lèi)比到等差中的和，討論公差是否為0，從而求出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
解答：解：（1）①設(shè)c_n=a_n+b_n，
則-（+）（+）
=a₁b₁（q₁-q₂）2
當(dāng)q₁=q₂時(shí)，對(duì)任意的n∈N，n≥2，=c_n+1c_n-1恒成立，
故{a_n+b_n}為等比數(shù)列；        （3分）
∴S_n=（1分）
當(dāng)q₁≠q₂時(shí)，
對(duì)任意的n∈N，n≥2，≠c_n+1c_n-1，{a_n+b_n}不是等比數(shù)列．（2分）
②設(shè)d_n=a_nb_n，
對(duì)于任意n∈N^*，，{a_nb_n}是等比數(shù)列． （3分）
S_n=  （1分）
（2）設(shè){a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，公差分別為d₁，d₂，則：
①{a_n+b_n}為等差數(shù)列；S_n=（a₁+b₁）n+（d₁+d₂）（2分）
②當(dāng)d₁與d₂至少有一個(gè)為0時(shí)，{a_nb_n}是等差數(shù)列，（1分）
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+a₁d₂；（1分）
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+b₁d₁．（1分）
③當(dāng)d₁與d₂都不為0時(shí)，{a_nb_n}一定不是等差數(shù)列．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了類(lèi)比推理，以及等比數(shù)列與等差數(shù)列的判定，同時(shí)考查了計(jì)算能力和分析求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．