Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率的定義求出a，利用橢圓中三個參數(shù)的關(guān)系求出b²=1，寫出橢圓的方程．
（2）欲求點G橫坐標的取值范圍，從函數(shù)思想的角度考慮，先將其表示成某一變量的函數(shù)，后求函數(shù)的值域，這里取直線AB的斜率K為自變量，通過解方程組求得點G橫坐標（用k表示），再求其取值范圍．

解答：解：（1）因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），
所以c=1，
又因為離心率為

2

2

，
所以a=

2

所以b²=1
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的左焦點F，
∴方程有兩個不等實根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），
則 x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴AB的垂直平分線NG的方程為 y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得 xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0，
∴點G橫坐標的取值范圍為 (-

1

2

，0)．

點評：本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常是先聯(lián)立組成方程組，消去x（或y），得到y(tǒng)（或x）的方程．我們在研究圓錐曲線時，經(jīng)常涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究．主要涉及到：交點問題、弦長問題、弦中點（中點弦）等問題，常用的方法：聯(lián)立方程組，借助于判別式，數(shù)形結(jié)合法等．