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        1. 已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
          1
          2

          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
          (Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
          PF1
          PA
          的取值范圍
          (III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
          AH
          2
          =
          MH
          HN
          ,求證:直線l恒過定點(diǎn).
          分析:( I)由題意可得到:c=1,a=2,b=
          3
          從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (II)設(shè)P(x0,y0)利用向量的數(shù)量積即可墳得
          PF1
          PA
          ,再結(jié)合橢圓方程得-2≤x≤2,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得
          PF1
          PA
          的取值范圍;
          (III)先將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積公式即可求得m值,從而解決問題.
          解答:解:( I)由題意得c=1,a=2,b=
          3
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          (4分)
          (II)設(shè)P(x0,y0),A(-2,0),F(xiàn)1(-1,0)
          PF1
          PA
          =(-1-x0)(-2-x0)+
          y
          2
          0
          =
          1
          4
          x2+3x+5

          由橢圓方程得-2≤x≤2,二次函數(shù)開口向上,對稱軸x=-6<-2
          當(dāng)x=-2時(shí),取最小值0,
          當(dāng)x=2時(shí),取最大值12
          PF1
          PA
          的取值范圍是[0,12](9分)
          (III)
          y=kx+m
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          ,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0

          由△>0得4k2+3>m2
          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
          -8km
          3+4k2
          x1x2=
          4m2-12
          3+4k2
          ,
          AM
          AN
          =(
          AH
          +
          HM
          )•(
          AH
          +
          HN
          )=
          AH
          2
          +
          AH
          HN
          +
          HM
          AH
          +
          HM
          HN
          =0

          ∴(x1+2)(x2+2)+y1y2=0
          即(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m2=0
          ∴4k2-16km+7m2=0k=
          1
          2
          m或k=
          7
          2
          m
          均適合※(12分)
          當(dāng)k=
          1
          2
          m時(shí),直線過A,舍去,故k=
          7
          2
          m

          當(dāng)k=
          7
          2
          m時(shí),直線y=kx+
          2
          7
          k過定點(diǎn)(-
          2
          7
          ,0)
          (13分)
          點(diǎn)評:本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計(jì)算能力.本題為中檔題,需要熟練運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長軸的一個四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
          (1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
          (2)求k1:k2的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率是
          3
          2
          ,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
          1
          2
          x+m(m<0)
          與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
          (1)求橢圓的方程;
          (2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
          (3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•威海二模)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為e=
          6
          3
          ,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
          2
          6
          3
          +2

          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
          ND
          MP
          AB
          2
          為定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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          同步練習(xí)冊答案