Question

設g（x）=2x+，x∈[，4]．
（1）求g（x）的單調區(qū)間；（簡單說明理由，不必嚴格證明）
（2）證明g（x）的最小值為g（）；
（3）設已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-，]，則f₁（x）=-1，x∈[-，]，f₂（x）=sinx，x∈[-，]，設φ（x）=+，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據y=ax+（a＞0，b＞0，x＜0）單調性及奇函數在對稱區(qū)間單調性相同即可求得g（x）的單調區(qū)間；
（2）利用（1）問g（x）的單調性可證明；
（3）先求定義域x∈[，2]．由定義求出φ（x），φ₁（x），φ₂（x），進而表示出φ₁（x）-φ₂（x），由題設條件可得φ₁（x）-φ₂（x）的最小值及φ₁（x）-φ₂（x）的最大值問題即可解決．
解答：解：（1）∵g（x）=2x+為奇函數．奇函數在對稱區(qū)間單調性相同，
g（x）在x∈[，]上遞減，g（x）在x∈[，4]上遞增；
（2）用最值的定義證明：
g（x）在x∈[，]上遞減，
對任意x∈[，]，都有g（）≥g（x）≥g（）；
g（x）在x∈[，4]上遞增，對任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（）．
綜上，g（x）的最小值為g（）．
（3）先求定義域x∈[，2]．
φ（x）=+=，
φ₁（x）=，）=，
φ₁（x）-φ₂（x）=，
由題設條件可得φ₁（x）-φ₂（x）的最小值為-5.25．
φ₁（x）-φ₂（x的最大值為0，
∴p≤-5.25，m≥0．
點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查不等式恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力．