Question

已知向量

a

=（4，5cosα），

b

=（3，-4tanα），α∈(0，

π

2

)，且

a

⊥

b

．
（1）求|

a

+

b

|；
（2）求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）根據

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，然后利用數量積公式可求出sinα，再根據同角三角函數關系求出cosα，tanα，從而求出

a

與

b

的坐標，從而求出所求；
（2）由（1）根據二倍角公式可求出sin2α與cos2α，然后根據余弦的和角公式進行展開，即可求出所求．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
即12+5cosα•（-4tanα）=0，
解得sinα=

3

5

，
又α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

4

5

，
∴tanα=

3

4

，
∴

a

=（4，4），

b

=（3，-3），
∴

a

+

b

=（7，1），
∴|

a

+

b

|=5

2

．
（2）由（1）可得sin2α=2sinαcosα=

24

25

，
cos2α=2cos2α-1=

7

25

，
∴cos(2α+

π

4

)=

2

2

(cos2α-sin2α)=

2

2

（

7

25

-

24

25

）=-

17 2

25

．

點評：本題主要考查了數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，以及兩角和與差的余弦函數，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．