Question

已知函數(shù)。
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程；
（II）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a∈（1，2），使當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解（I）a=1時(shí)，
，
于是，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程為，
即；
（II）
，
∵，
∴只需討論的符號，
�。┊�(dāng)a＞2時(shí)，＞0，這時(shí)＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，≥0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令=0，解得，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在，為增函數(shù)，f（x）在為減函數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，∈（0，1），
由（2）知f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立，
當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，，設(shè)，則，
表明g（t） 在（0，1）上單調(diào)遞減，
于是可得，即a∈（1，2）時(shí)恒成立，
因此，符合條件的實(shí)數(shù)a不存在。