Question

已知 函數(shù)，
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）最小值；
（II）求f（x）的最小值g（a）；
（III）若關(guān)于a的函數(shù)g（a）在定義域[2，10]上滿足g（-2a+9）＜g（a+1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)所給分段函數(shù)的解析式，根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變換看出函數(shù)的圖象的變換趨勢，得到結(jié)果．
（II）要求分段函數(shù)的最小值，把兩端函數(shù)進(jìn)行比較，解不等式寫出函數(shù)在不同的情況下最小值不同，分段寫出．
（III）要解抽象不等式，寫出不等式相當(dāng)于函數(shù)的自變量之間的不等關(guān)系，寫出函數(shù)的自變量的取值，就不等式組得到結(jié)果．
解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，
當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)先減后增，當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)是一個(gè)是一個(gè)減函數(shù)，
∴最小值f（2）=1；
（II）當(dāng)2^|x-2|＞2^|x-10|時(shí)，|x-2|＞|x-10|
∴6＜x＜10，即g（a）=2^|a-10|
當(dāng)2^|x-2|＜2^|x-10|時(shí)，
2≤a≤6，即g（a）=2^|a-2|
當(dāng)a≤2，a≥10時(shí)，g（a）=1
綜上可知g（a）=2^|a-10|，6＜x＜10，
g（a）=2^|a-2|   2≤a≤6，
g（a）=1，a≤2，a≥10
（III）∵g（-2a+9）＜g（a+1），
∴2＜-2a+9＜10，①
2＜a+1＜10，②
|a-5|＜|-2a+3|③
∴-
1＜a＜9
（3a-8）（a+2）＞0，即a＞或a＜-2
總上可知a∈φ
點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的最值和抽象不等式的解法，本題解題的關(guān)鍵是看出分段函數(shù)的單調(diào)性和所過的特殊點(diǎn)．