Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于BD兩點，BD的中點為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|•|BF|=17，證明：過A、B、D的圓與x軸相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得到直線l的方程，和雙曲線方程聯(lián)立后得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系得到兩個交點的橫坐標的和與積，再利用中點坐標公式得到a與b的關系，結合隱含條件可求C的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）把C的方程用含有a的代數(shù)式表示，求出|BF|和|DF|的長度，由|DF|•|BF|=17可求得a的值，由弦長公式求出|BD|，結合提議可得結論．

解答：（Ⅰ）由題設知，l的方程為：y=x+2，
代入C的方程，并化簡，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

a2b2

b2-a2

  ①
由M（1，3）為BD的中點知，

x1+x2

2

=1，故

1

2

×

4a2

b2-a2

=1
即b²=3a²  ②
故c=

a2+b2

=2a，所以C的離心率e=

c

a

=2；
（Ⅱ）由①②知，C的方程為：3x²-y²=3a²，
A（a，0），F(xiàn)（2a，0），x1+x2=2，x1x2=

4+3a2

2

＜0
故不妨設x₁≤-a，x₂≥a．
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x1，
|FD|=

(x1-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x2-a，
|BF|•|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8
又|DF|•|BF|=17，
故5a²+4a+8=17，
解得a=1，或a=-

9

5

（舍去），
故|BD|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=6，
連結MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，
∴過A、B、D三點的圓與 軸相切．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，解決此類問題的常用方法是利用一元二次方程的根與系數(shù)關系，采用“設而不求”的思想方法，考查了學生的運算能力，屬于高考中的壓軸題．