Question

設(shè)曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線C₁．
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）證明：曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（

t

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，

s

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）對(duì)稱．

Answer 1

分析：（1）將C沿x軸、正向平移t單位長(zhǎng)度后，x變?yōu)閤-t，將C沿y軸正向平移s單位長(zhǎng)度后，y 變?yōu)閥-s；
（2）要證明曲線C₁與C關(guān)于點(diǎn)A（

t

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，

s

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）對(duì)稱，只需證明曲線C₁上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C上，曲線C上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C₁上即可．

解答：（1）解：根據(jù)題意，將C沿x軸、正向平移t單位長(zhǎng)度后，x變?yōu)閤-t，將C沿y軸正向平移s單位長(zhǎng)度后，y 變?yōu)閥-s；
則可得，C₁：y-s=（s-t）³-（x-t）．①
（2）證明：設(shè)P₁（x₁，y₁）為曲線C₁上任意一點(diǎn)，
它關(guān)于點(diǎn)A（

t

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，

s

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）的對(duì)稱點(diǎn)為：P（t-x₁，s-y₁），
把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程，左=s-y₁，右=（t-x₁）³-（t-x₁）．
由于P₁在曲線C₁上，
∴y₁-s=（x₁-t）³-（x₁-t）．
∴s-y₁=（t-x₁）³-（t-x₁）
即點(diǎn)P（t-x₁，s-y₁）在曲線C上．
同理可證：曲線C上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C₁上．
∴曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（

t

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，

s

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）對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：注意：平移過(guò)程中坐標(biāo)的變化規(guī)律，證明兩曲線關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的方法．