Question

設(shè)曲線(xiàn)C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線(xiàn)C₁.

（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C₁的方程；

（2）證明：曲線(xiàn)C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱(chēng).

Answer 1

⑴；⑵證明見(jiàn)解析.

解析:

（1）C₁：……………………………………①

（2）分析：要證明曲線(xiàn)C₁與C關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱(chēng)，只需證明曲線(xiàn)C₁上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上，反過(guò)來(lái)，曲線(xiàn)C上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在曲線(xiàn)C₁上即可.

證明：設(shè)P₁（x₁，y₁）為曲線(xiàn)C₁上任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)A（，）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

P（t－x₁，s－y₁），把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線(xiàn)C的方程，左=s－y₁，右=（t－x₁）³－（t－x₁）.

由于P₁在曲線(xiàn)C₁上，∴y₁－s=（x₁－t）³－（x₁－t）.

∴s－y₁=（t－x₁）³－（t－x₁），即點(diǎn)P（t－x₁，s－y₁）在曲線(xiàn)C上.

同理可證曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在曲線(xiàn)C₁上.

從而證得曲線(xiàn)C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱(chēng).