Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0），圓F₂：（x-1）²+y²=1，一動圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時與圓F₂相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且|PF1|=

7

3

，求曲線E的標準方程；
（3）在（1）、（2）的條件下，直線l與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0），由動圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時與圓F₂相外切，知|CF₂|-x=1，由此能求出曲線C的方程．
（2）依題意，c=1，|PF1|=

7

3

，得xp=

2

3

，由此能求出曲線E的標準方程．
（3）設(shè)直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點M的坐標為（x₀，y₀），將A，B的坐標代入橢圓方程中，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能夠求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0）
因為動圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時與圓F₂相外切，
所以|CF₂|-x=1，…（1分）
∴

(x-1)2+y2

=x+1，
化簡整理得y²=4x，曲線C的方程為y²=4x（x＞0）； …（3分）
（2）依題意，c=1，|PF1|=

7

3

，
得xp=

2

3

，…（4分）
∴|PF2|=

5

3

，
又由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．…（5分）
∴b²=a²-c²=3，所以曲線E的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（3）設(shè)直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
A，B的中點M的坐標為（x₀，y₀），
將A，B的坐標代入橢圓方程中，
得

3x12+4y12-12=0 3x22+4y22-12=0

，
兩式相減得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

3x0

4y0

，…（7分）
∵y02=4x0，
∴直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

16

y0，…（8分）
由（2）知xp=

2

3

，
∴yp2=4xp=

8

3

，∴yp=±

2 6

3

由題設(shè)-

2 6

3

＜y0＜

2 6

3

(y0≠0)，
∴-

6

8

＜-

3

16

y0＜

6

8

，…（10分）
即-

6

8

＜k＜

6

8

（k≠0）．…（12分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點差法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．