Question

已知點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），圓C：（x-1）²+（y-a）²=a²（a＞0），過M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為

x²-

y2

8

=1（x≠±1）

．

Answer 1

分析：設(shè)圓C與直線MN相切于點(diǎn)A，與PM，PN相切于點(diǎn)B，C，則A（1，0），利用圓的切線的性質(zhì)，可得||PM|-|PN||=2，利用雙曲線的定義，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：由題意，設(shè)圓C與直線MN相切于點(diǎn)A，與PM，PN相切于點(diǎn)B，C，則A（1，0）
∴||PM|-|PN||=||MB|-|NC||=||MA|-|NA||=4-2=2
∴點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)）
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
則2a=2，c=3，
∴a=1，b²=8
∴雙曲線的方程為x²-

y2

8

=1（x≠±1）
故答案為：x²-

y2

8

=1（x≠±1）．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查雙曲線的定義，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．