Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，以極點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若過點(diǎn)且傾斜角為的直線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的最小距離.

Answer 1

【答案】（1） ；(2) .

【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的互化公式求解即可得到結(jié)論．（2）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)求解，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解，再結(jié)合二次函數(shù)得到所求最小值．

（1）由得，

把代入上式得，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．

設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

則，

∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．

（2）由題意得直線的方程為，即．

設(shè)點(diǎn)，

則點(diǎn)到直線的距離為，

故當(dāng)時(shí)，有最小值，且．

∴點(diǎn)到直線的最小距離為．