Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-

a

2x

．
（1）將y=f（x）的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x），求y=g（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=h（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=1對(duì)稱(chēng)，求y=h（x）的解析式；
（3）設(shè)F（x）=

1

a

f（x）+h（x）F（x）的最小值是m，且m＞2+

7

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)平移的規(guī)律左加右減得到g（x）的解析式；
（2）設(shè)出h（x）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)求出關(guān)于y=1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入g（x）求出h（x）的解析式即可；
（3）根據(jù)已知先求出F（x）的解析式，分四種情況討論a的取值，因?yàn)镕（x）的最小值是m，所以只有當(dāng)

1

4

＜a＜4時(shí)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求出F（x）的最小值等于m，又根據(jù)m＞2+

7

，列出不等式組求出解集即可．

解答：解：（1）g（x）=f（x-2）=2^x-2-

a

2x-2

（2）設(shè)y=h（x）上的任意點(diǎn)P（x，y），則P關(guān)于y=1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（x，2-y），點(diǎn)Q在y=g（x）上，所以h（x）=2-2^x-2+

a

2x-2

（3）F（x）=（

1

a

-

1

4

）2^x+（4a-1）(

1

2

)x+2
①當(dāng)a＜0時(shí)，

1

a

-

1

4

＜0，4a-1＜0∴F（x）＜2，與題設(shè)矛盾
②當(dāng)0＜a≤

1

4

時(shí)，

1

a

-

1

4

＞0，4a-1≤0，F(xiàn)（x）在R上是增函數(shù)，F(xiàn)（x）無(wú)最小值；
③當(dāng)a≥4時(shí)，

1

a

-

1

4

≤0，4a-1＞0，F(xiàn)（x）在R上是減函數(shù)，F(xiàn)（x）無(wú)最小值
④當(dāng)

1

4

＜a＜4時(shí)，

1

a

-

1

4

＞0，4a-1＞0，F(xiàn)（x）≥2

(4-a)(4a-1) 4a

+2=m
由m＞2+

7

，得

1 4 ＜a＜4 (4-a)(4a-1) 4 ＞7

∴

1

2

＜a＜2

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握函數(shù)平移、對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)，會(huì)利用基本不等式求最值，掌握分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．