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        1. 已知在三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,AC⊥BC,且PA=AC=BC=1,點E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
          (Ⅰ)求證:PB⊥平面AEF;
          (Ⅱ)求二面角A-PB-C的大。
          分析:(Ⅰ)要證PB⊥平面AEF,只要證PB垂直于平面AEF內(nèi)的兩條相交直線即可,可轉(zhuǎn)化為證明PB垂直于AE,可證AE垂直于平面PBC,結(jié)合已知條件,利用線面垂直的判定進行證明;
          (Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用平面法向量所成的角求二面角的平面角.
          解答:(Ⅰ)證明:∵PA⊥面ABC,BC?面ABC,
          ∴PA⊥BC,又AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC,
          而AE?PAC,∴BC⊥AE,又PA=AC,點E是PC的中點,∴AE⊥PC,
          又AE⊥BC,BC∩PC=C,∴AE⊥面PBC,而PB?面PBC,AE⊥PB,又EF⊥PB,AE⊥BP,AE∩EF=E,∴PB⊥平面AEF;
          (Ⅱ)解:以A為坐標(biāo)原點,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
          ∵PA=AC=BC=1,則A(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).
          AB
          =(1,1,0),
          BC
          =(-1,0,0)
          ,
          PB
          =(1,1,-1)

          設(shè)平面PAB的一個法向量為
          m
          =(x1,y1,z1)
          ,
          則由
          m
          AB
          =0
          m
          PB
          =0
          ,得
          x1+y1=0
          x1+y1-z1=0
          ,取y1=-1,得x1=1,z1=0,
          m
          =(1,-1,0)

          再設(shè)平面PBC的一個法向量為
          n
          =(x2,y2,z2)
          ,
          則由
          n
          PB
          =0
          n
          BC
          =0
          ,得
          x2+y2-z2=0
          -x2=0
          ,取z2=1,得y2=1,
          n
          =(0,1,1)

          cos<
          m
          ,
          n
          >=
          m
          n
          |
          m
          |•|
          n
          |
          =
          -1
          2
          ×
          2
          =-
          1
          2

          ∴二面角A-PB-C的大小為60°.
          點評:本題考查了線面垂直的判定,考查了利用平面法向量求二面角的平面角,考查了學(xué)生的空間想象能力和計算能力,是中檔題.
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          1
          EF
          +
          1
          FG
          的最小值為
           

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          13
          .有一動點M在側(cè)面PAB內(nèi),它到頂點P的距離與到底面ABC的距離比為2
          2
          :1

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          (1)求動點M到頂點P 的距離與它到邊AB的距離之比;
          (2)在側(cè)面PAB所在平面內(nèi)建立為如圖所示的直角坐標(biāo)系,求動點M的軌跡方程.

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          (2)求三棱錐B-PEC的體積;
          (3)求證:AF∥平面PEC.

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