Question

設函數(shù)f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax；（a∈R）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值．（2）當a≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．（3）當a=2時，對于任意正整數(shù)n，在區(qū)間[

1

2

，6+n+

1

n

]上總存在m+4個數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_m，a_m+1，a_m+2，a_m+3，a_m+4，使得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，試問：正整數(shù)m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)為0的根，在看根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．
（2）先求導函數(shù)，再求導函數(shù)為0的根，利用導函數(shù)大于0的區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間，導函數(shù)小于0的區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間來求單調(diào)區(qū)間即可．
（3）先判斷出原函數(shù)在區(qū)間[

1

2

，6+n+

1

n

]上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性把f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立轉(zhuǎn)化為mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)對一切正整數(shù)成立即可求出正整數(shù)m是否有最大值．

解答：解：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=0時，f(x)=2lnx+

1

x

，f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

．
令f'（x）=0，解得x=

1

2

．
當0＜x＜

1

2

時，f'（x）＜0；當x＞

1

2

時，f'（x）＞0．
又f(

1

2

)=2-2ln2，所以f（x）的極小值為2-2ln2，無極大值．
（2）f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

．
令f'（x）=0，解得x1=-

1

a

，x2=

1

2

．
若a＞0，令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2

；令f'（x）＞0，得x＞

1

2

．
若a＜0，
①當a＜-2時，-

1

a

＜

1

2

，令f'（x）＜0，得0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

；
令f'（x）＞0，得-

1

a

＜x＜

1

2

．
②當a=-2時，f′(x)=-

(2x-1)2

x2

≤0．
③當-2＜a＜0時，得-

1

a

＞

1

2

，
令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

；令f'（x）＞0，得

1

2

＜x＜-

1

a

．
綜上所述，當a＞0時，f（x）的遞減區(qū)間為(0，

1

2

)，遞增區(qū)間為(

1

2

，+∞)．
當a＜-2時，f（x）的遞減區(qū)間為(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)；遞增區(qū)間為(-

1

a

，

1

2

)．
當a=-2時，f（x）遞減區(qū)間為（0，+∞）．
當-2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，遞增區(qū)間為(

1

2

，-

1

a

)．
（3）當a=2時，f(x)=

1

x

+4x，
由f′(x)=-

1

x2

+4=

4x2-1

x2

，知x∈[

1

2

 ，6+n+

1

n

]時，f'（x）≥0.f(x)min=f(

1

2

)=4，f(x)max=f(6+n+

1

n

)．
依題意得：mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)對一切正整數(shù)成立．
令k=6+n+

1

n

，則k≥8（當且僅當n=1時取等號）．
又f（k）在區(qū)間[6+n+

1

n

，+∞)單調(diào)遞增，得f(k)min=32

1

8

，
故m＜32

1

8

，又m為正整數(shù)，得m≤32，
當m=32時，存在a1=a2═a32=

1

2

，a_m+1=a_m+2=a_m+3=a_m+4=8，對所有n滿足條件．所以，正整數(shù)m的最大值為32．

點評：題考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．