Question

已知：向量

a

=(2cos

x

4

，2sin

x

4

)，

b

=(sin

x

4

，-

3

sin

x

4

)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

3

（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及最值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，再向左平移

2

3

π得到函數(shù)y=g（x），判斷函數(shù)y=g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量數(shù)量積公式、兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)y=f（x）的解析式為2sin（

x

2

+

π

3

），由此求出它的最小正周期和最小值．
（2）第一次變換后得到y(tǒng)=2sin（

x

4

+

π

3

）的圖象，第二次變換后得到y(tǒng)=2cos

x

4

的圖象，再由偶函數(shù)的定義判斷它為偶函數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=f（x）=

a

•

b

+

3

=sin

x

2

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），
故函數(shù)y=f（x）的最小正周期為

2π

1 2

=4π，最小值為-2．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，得到函數(shù)y=2sin（

x

4

+

π

3

）的圖象，
再向左平移

2

3

π得到函數(shù)y=2sin[

1

4

 (x+

2π

3

 )+

π

3

]=2sin（

x

4

+

π

2

）=2cos

x

4

的圖象，
故函數(shù)y=g（x）=2cos

x

4

，定義域為R，
因為g（-x）=2cos（-

x

4

 ）=2 cos

x

4

=g（x），
故函數(shù)y=g（x）是偶函數(shù)．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，誘導(dǎo)公式、兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性和求法、正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．