Question

【題目】已知函數(shù)，．

求在上的最小值；

若m為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論m的取值，研究函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．
把當(dāng)時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值的范圍得答案．

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

由得，

由得，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，

由得，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，，．

若即時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的最小值為，

若即時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的最小值為，

若，即時(shí)，函數(shù)的最小值為；

當(dāng)時(shí)，，

不等式，等價(jià)為，即

令，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，

在上存在唯一的零點(diǎn)，

故在上存在唯一的零點(diǎn)．

設(shè)此零點(diǎn)為a，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在上的最小值為由，可得，

，

由于式等價(jià)于，

故整數(shù)m的最大值為2．