Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同時滿足條件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．求m的取值范圍．

Answer 1

分析：分兩步考慮：（a）求出滿足①時m的范圍，進而再分三種情況考慮：（i）m=-1時；（ii）-1＜m＜0時；（iii）m＜-1時，分別求出m的范圍，得到滿足①時m的范圍；（b）再分三種情況考慮：（i）當m=-1時；（ii）當m＜-1時；（iii）當-1＜m＜0時，分別求出m的范圍得到滿足②時m的范圍，綜上所述，找出同時滿足①②的范圍即可．

解答：解：分兩種情況考慮：
（a）由題意可知，m≥0時不能保證對?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0成立，
（i）當m=-1時，f（x）=-（x+2）²，g（x）=2^x-2，此時顯然滿足條件①；
（ii）當-1＜m＜0時，2m＞-（m+3），要使其滿足條件①，則需-1＜m＜0且2m＜1，解得-1＜m＜0；
（iii）當m＜-1時，-（m+3）＞2m，要使其滿足條件①，則需m＜-1且-（m+3）＜1，解得：-4＜m＜-1，
則滿足條件①的m的取值范圍為（-4，0）；
（b）在滿足條件①的前提下，再探討滿足條件②的取值范圍，
（i）當m=-1時，在（-∞，-4）上，f（x）與g（x）均小于0，不合題意；
（ii）當m＜-1時，則需2m＜-4，即m＜-2，所以-4＜m＜-2；
（iii）當-1＜m＜0時，則需-（m+3）＜-4，即m＞1，此時無解，
綜上所述，滿足①②兩個條件的m的取值范圍為（-4，-2）．

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點，以及其他不等式的解法，利用了分類討論的思想，分類討論時要做到不重不漏，考慮問題要全面．