數(shù)列
滿足
．
（1）計算
，
，
，
，由此猜想通項公式
，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想；
（2）若數(shù)列
滿足
，求證：
．
（1）1，
，
，
an＝
(n∈N*)．
（2）運用數(shù)學(xué)歸納法證明來分為兩步驟來加以證明即可。
【解析】
試題分析：解：（1）當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. 1分
當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. 2分
由此猜想an＝ (n∈N*)． 4分
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n＝1時， a1＝
＝1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n＝k（k≥1且k∈N*）時，結(jié)論成立，即ak＝
，那么當(dāng)n＝k＋1時，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝
＝
＝
，故當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立，
由①②知猜想an＝ (n∈N*)成立． 8分
(2)由(1)知，
，
． 9分
解法1：當(dāng)
時，
10分
． 12分
解法2：當(dāng)
時，
，
10分
． 12分
解法3：
當(dāng)時，
10分
． 12分
考點：數(shù)學(xué)歸納法證明
點評：主要是考查了數(shù)列的猜想以及數(shù)學(xué)歸納法的運用，屬于基礎(chǔ)題。
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
| 1 |
| 16 |
| 1+24an |
| 1+24an |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年年山東省棗莊市高三4模擬考試理數(shù) 題型：解答題
（本小題滿分12分）
數(shù)列
滿足：
（1）求數(shù)列的通項公式
（2）令
，
求數(shù)列
的前n項和
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知整數(shù)數(shù)列
滿足：
，
.
(1) 求數(shù)列的通項公式；
(2) 將數(shù)列中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：
……
依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為
，
求
的值；
(3) 令
(
為大于等于
的正整數(shù))，問數(shù)列
中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？
若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由.
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滿足
，
.（1）求
；（2）令
，數(shù)列
前
項和為
，求證：當(dāng)
時，
；（3）證明：
.