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        1. 在數(shù)列{an}中,若a1,a2是正整數(shù),且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,則稱{an}為“絕對差數(shù)列”,
          (Ⅰ)舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項);
          (Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”{an}中,a20=3,a21=0,數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3,…,分別判斷當n→∞時,an與bn的極限是否存在,如果存在,求出其極限值;
          (Ⅲ)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項。
          (Ⅰ)解: (答案不惟一);
          (Ⅱ)解:因為在絕對差數(shù)列{an}中,a20=3,a21=0,
          所以自第20項開始,該數(shù)列是
          ,
          即自第20項開始,每三個相鄰的項周期地取值3,0,3,
          所以當n→∞時,an的極限不存在;
          當n≥20時,,所以。
          (Ⅲ)證明:根據(jù)定義,數(shù)列{an}必在有限項后出現(xiàn)零項。
          證明如下:假設{an}中沒有零項,由于,
          所以對于任意的n,都有,
          從而當時,
          時,;
          即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1,
          ,n=1,2,3,…,
          2,3,4,…),
          由于c1是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項c1<0,這與cn>0(n=1,2,3,…)矛盾,
          從而{an}必有零項,
          若第一次出現(xiàn)的零項為第n項,記,則自第n項開始,每三個相鄰的項周期地取值0,A,A,
          ,
          所以絕對差數(shù)列{an}中有無窮多個為零的項。
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在數(shù)列{an}中,若a1=
          1
          2
          ,an=
          1
          1-an-1
          (n≥2,n∈N*),則a2010等于
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在數(shù)列{an}中,若an2-an-12=p(n≥2,n∈N*,p為常數(shù)),則稱{an}為“等方差數(shù)列”,下列是對“等方差數(shù)列”的判斷;
          ①若{an}是等方差數(shù)列,則{an2}是等差數(shù)列;
          ②{(-1)n}是等方差數(shù)列;
          ③若{an}是等方差數(shù)列,則{akn}(k∈N*,k為常數(shù))也是等方差數(shù)列;
          ④若{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列為常數(shù)列.
          其中正確命題序號為( 。
          A、①②③B、①②④C、①②③④D、②③④

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在數(shù)列{an}中,若a1=2,an=
          1
          1-an-1
          (n≥2,n∈N*),則a7
          等于( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在數(shù)列{an}中,若a1=2,a2=6,且當n∈N*時,an+2是an•an+1的個位數(shù)字,則a2011=( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知無窮數(shù)列{an}具有如下性質(zhì):①a1為正整數(shù);②對于任意的正整數(shù)n,當an為偶數(shù)時,an+1=
          a n
          2
          ;當an為奇數(shù)時,an+1=
          an+1
          2
          .在數(shù)列{an}中,若當n≥k時,an=1,當1≤n<k時,an>1(k≥2,k∈N*),則首項a1可取數(shù)值的個數(shù)為
           
          (用k表示).

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