Question

已知無窮數(shù)列{a_n}具有如下性質(zhì)：①a₁為正整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)n，當(dāng)a_n為偶數(shù)時(shí)，a_n+1=

a n

2

；當(dāng)a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n+1=

an+1

2

．在數(shù)列{a_n}中，若當(dāng)n≥k時(shí)，a_n=1，當(dāng)1≤n＜k時(shí)，a_n＞1（k≥2，k∈N^*），則首項(xiàng)a₁可取數(shù)值的個(gè)數(shù)為

 

（用k表示）．

Answer 1

分析：我們用倒推的方式，當(dāng)n≥k時(shí)，a_n=1，則a_n-1=2，a_n-2=3或4，即2個(gè)；a_n-3=5或6或7或8，即4個(gè)；a_n-4=9或10或11或12或13或14或15或16，即8個(gè)，從而可得結(jié)論．

解答：解：我們用倒推的方式，∵對(duì)于任意的正整數(shù)n，當(dāng)a_n為偶數(shù)時(shí)，a_n+1=

a n

2

；
當(dāng)a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n+1=

an+1

2

，在數(shù)列{a_n}中，若當(dāng)n≥k時(shí)，a_n=1，
∴a_n-1=2，a_n-2=3或4，即2個(gè)；a_n-3=5或6或7或8，即4個(gè)；a_n-4=9或10或11或12或13或14或15或16，即8個(gè)，
由此可知首項(xiàng)a₁可取數(shù)值的個(gè)數(shù)為2^k-2個(gè)．
故答案為：2^k-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，用倒推的方式是解題的關(guān)鍵．