Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左右焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為。一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的焦點(diǎn)分別為A、B和C、D。

（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂=1

（3）是否存在常數(shù)，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？

若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，得，，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；  ……2

所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。        …………4

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（，），=，=，∴=…6

點(diǎn)P（，）在雙上，有，即，∴=1  ……8

（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則由（Ⅱ）知，所以設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，

由方程組消y得：，設(shè)，，

則由韋達(dá)定理得：     ……………9

所以|AB|==，同理可得     ……………10

|CD|===，  …………11

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052205381298434417/SYS201205220539554531331131_DA.files/image024.png">，

所以有=+=，

所以存在常數(shù)，成立。 

【解析】略