Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知 平面，且四邊形為直角梯形， ， ， ，點(diǎn)， 分別是， 的中點(diǎn)．

（I）求證： 平面；

（Ⅱ）點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角最小時，求線段的長．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】試題分析：(Ⅰ) 連接， ，由三角形中位線定理可得// ，從而可證明四邊形為平行四邊形，可得// ，利用線面平行的判定定理可得結(jié)果；(Ⅱ以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)， ，利用空間向量夾角余弦公式可得，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)配方法，求得時直線與所成角取得最小值，此時.

試題解析：(Ⅰ) 證明：連接， ，因?yàn)辄c(diǎn)， 分別是， 的中點(diǎn)，所以， // ，

所以// ， ，所以四邊形為平行四邊形，所以// .又因?yàn)?/span>平面， 平面，所以//平面．

(Ⅱ) 解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，則， ， ， ， ． 所以， ，設(shè)， ，

又，所以.設(shè)， 則， ， 所以， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時， 取得最大值， 即直線與所成角取得最小值，此時．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、向量法求異面直線所成的角，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.