Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 sin（2x-

π

6

）-1，可得函數(shù)的最小值為-2，最小正周期為

2π

2

．
（2）△ABC中，由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，求得C=

π

3

．再由向量

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線可得sinB-2sinA=0，再由B=

2π

3

-A 可得sin（

2π

3

-A）=2sinA，化簡(jiǎn)求得A=

π

6

，故B=

π

2

．再由正弦定理求得a、b的值．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
故函數(shù)的最小值為-2，最小正周期為

2π

2

=π．
（2）△ABC中，由于f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，可得2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
再由向量

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線可得sinB-2sinA=0．
再結(jié)合正弦定理可得b=2a，且B=

2π

3

-A．
故有 sin（

2π

3

-A）=2sinA，化簡(jiǎn)可得 tanA=

3

3

，∴A=

π

6

，∴B=

π

2

．
再由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

 可得

a

sin π 6

=

b

sin π 2

=

3

sin π 3

，
解得 a=

3

，b=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式、正弦定理、兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題．